Nombres entiers signés

Introduction

Pour encoder des nombres entiers relatifs (appelés entiers signés), l'idée principale est d'utiliser le bit de poids fort (le chiffre qui se trouve le plus à gauche) pour représenter le signe: 0 si le nombre est positif et 1 si le nombre est négatif.

Cette représentation possède deux inconvénients:

• Le nombre 0 a deux présentations différents: 00000000 et 10000000

• Les opérations arithmétiques sont plus compliquées. Il faut notamment différencier le cas où les deux nombres sont de même signe du cas où ils sont de signes différents.

Complément à 2

La notation en complément à 2 permet de remédier à ces problèmes. Les nombres entiers relatifs positifs sont représentés comme des entiers positifs avec le bit de poids fort qui est à zéro (bit de signe) et les entiers relatifs négatifs sont obtenus selon le tableau ci-dessous:

Écriture	Entiers non signés (valeur décimale)	Entiers signés (valeur décimale)
4 bits	tous les bits sont utilisés pour définir le nombre	le bit de poids fort est utilisé pour le signe
0000	0	0
0001	1	1
0010	2	2
0011	3	3
0100	4	4
0101	5	5
0110	6	6
0111	7	7
1000	8	-8
1001	9	-7
1010	10	-6
1011	11	-5
1100	12	-4
1101	13	-3
1110	14	-2
1111	15	-1

Remarques

Entiers non signés sur 4 bits	Entiers signés sur 4 bits
La valeur minimale est 0	La valeur minimale est \(-2^{4-1} = -8\)
La valeur maximale est \(2^4-1 = 15\)	La valeur maximale est \(2^{4-1}-1 = 7\)

Opposé d'un nombre

Pour déterminer l'opposé d'un nombre, il faut:

1. Inverser tous les bits (0 \(\rightarrow\) 1 et 1 \(\rightarrow\) 0);

2. Additionner 1.

L'opposé de \(0101_2\) est \(1011_2\). En effet,

  1 0 1 0     (inverser chaque bit)
+       1     (ajouter 1)
----------
  1 0 1 1

Vérification: l'addition d'un nombre et de son opposé doit donner 0.

  1 1 1 1      (retenues)
    0 1 0 1
+   1 0 1 1
------------
  1 0 0 0 0    (sans tenir compte de la retenue finale)

Exercice 7

Déterminer l'opposé des nombres suivants en binaire, ainsi que la valeur décimale de celui-ci.

Nombre binaire	Opposé	Valeur décimale
\(0111_2\)
\(0101\,1010_2\)
\(1111_2\)
\(1101\,0001_2\)

Exercice 8

Répondre aux questions suivantes:

Quel est le plus...	4 bits, décimal	4 bits, binaire	8 bits, décimal	8 bits, binaire	n bits
... grand nombre entier non signé sur...
... petit nombre entier non signé sur...
... grand nombre entier signé sur...
... petit nombre entier signé sur...